Cpk 和 Sigma 與 ppm 缺陷有何關係，以及如何證明 Cpk 的合理性？

[#1]

在我工作的地方，我們通常會執行 DOE 來驗證機器是否有能力，然後再將其投入生產可銷售的產品。

一般來說，DOE 研究要求我們每次運行都滿足一定的 Cpk 或 Sigma 質量水平。 因此，我通過擬合曲線來分析結果數據，JMP 輸出 Cpk 和預測的 PPM 缺陷。 我用 Cpk 來證明研究結果是可以接受的。

有幾個問題困擾我很久了：

1a. 我經常發現，JMP 報告 Cpk 時，它預測的 PPM 與我在網上找到的來源不匹配（即 Cpk=1.33，在線 ppm 為 6210，而 JMP 中約為 0.05）。

為什麼？ 還差得很遠。

請參閱附件中我提到的示例。 一個適合平滑的曲線。 另一個將非參數曲線擬合到相同的數據。

1b. 為什麼 Cpk 較高的正態分佈也具有較高的 PPM？

2. 在審查同一份研究報告時，我被問到“為什麼 Cpk 1.33 適合這個過程？”

通常我會說“X 的 Cpk 與 XXX PPM 的 ppm 缺陷相關”，或者類似的話。 然而，發現與上述問題 1 相關的不一致給這個想法帶來了麻煩 - 所以我來到這裡。

您建議如何證明 Cpk 的合理性？

[#2 · Accepted solution]

嗨，馬特2！

許多統計學家非常不喜歡 Cpk 和過程能力指標，原因有很多：
- 容易做出糟糕/幼稚的解釋。
- 基本假設經常遭到嚴重違反。
- 對這些指標的邪惡操縱在一些質量從業者中很普遍。
- 經常報告為點估計，而不考慮其抽樣誤差。
- 過分簡化的過程特徵。

許多參考文獻（Montgomery、Wheeler、Kotz 和 Lovelace）都記錄了“誤用”, “幻想……和徹頭徹尾的妄想“， 和 ”統計恐怖主義Cpk 和過程能力指標。

我發現很難證明任何 Cpk 的合理性，尤其是在樣本量較小的情況下。我的經驗表明，需要比從 DOE 實際獲得的樣本量更大的樣本量……遠大於 200……有時遠大於 5000，具體取決於計算方法。

話雖如此，查看數據總比不查看要好。只要您務實地對待它並利用這種力量做好事而不是作惡，Cpk 總比沒有好。您可能希望嘗試 Cpk 置信區間（我和其他人，如 Nagata & Nagahata 1999），並使用 LCI 作為可製造性的仲裁者。

祝你好運！

[#3]

我認為，使用 Cp 更容易解釋過程能力和 ppm 缺陷之間的關係。特別是，對於 Cp=1，（兩側）規格限制的寬度為 6 sigma。對於正態分佈，99.73% 的數據包含在 6 西格瑪寬度內。通過一些簡單的 JSL，您可以自己進行計算：

因此 0.27% 超出了規格範圍；相當於 2,700 ppm。

您可以對 Cpk 值進行類似的計算。

這些計算基於正態分佈的概率。雖然計算可以推廣到其他分佈類型，但您在網上找到的數字幾乎肯定是基於正態分佈。

[#4]

嗨，馬特2！

David 提到了重要的一點：如果一個人關心他們的流程是否達到目標（而且應該如此！），則應該指定 Cpk 和 Cp。

如果過程完全居中，則 Cp = Cpk。例如，摩托羅拉曾經將 6 西格碼定義為 Cp > 2.0 和 Cpk > 1.5。

流程可能會以高 Cpk 運行，但運行結果卻與目標相差甚遠。這兩個模擬過程的 Cpk 均為 1.5：

當然，對於像您的示例這樣的單方面規格限制，Cp 不容易定義。

[#5]

謝謝大家的回复。 非常好的信息。我想在此基礎上提出一些後續問題。

我會記住 Cp 以便以後研究 2 面規格。

我發現該產品的批次發布規範列出了 AQL 和最低 Ppk。在缺乏計算的 Cp 的情況下，將 AQL/2 或 Ppk+0.5 等資格研究的缺陷率作為目標是否合理？

凱文，我只找到了永田和永畑1994年的出版物。 如果有1999年的，可以提供一下嗎？

我仍然不確定為什麼 Cpk 和 ppm 值彼此不完全相關。 它們不是通過 JMP 中的同一路徑導出的嗎？

[#6]

嗨，馬特2！

Kotz 和 Lovelace 引用了 Nagata 和 Nagahata 1994，所以這是正確的。

K&L中的公式為

這是一個可能有用的 JSL 函數，儘管它的命名有誤:) :

N2CpkCI1999 = Function({Cpk,n,alpha},{Default Local},
 LCI=Root(1-2/(5*(n-1)),2)*Cpk-Normal Quantile(1-alpha/2)*Root(Cpk^2/(2*(n-1))+1/(9*n),2);
 UCI=Root(1-2/(5*(n-1)),2)*Cpk+Normal Quantile(1-alpha/2)*Root(Cpk^2/(2*(n-1))+1/(9*n),2);
 EvalList({LCI,UCI})
 );
 
{UCI, LCI} = N2CpkCI1999(1.5, 30, 0.05);


/* Log prints {1.08557750374946, 1.89366100113153}

請注意，30 個樣本的 Cpk 為 1.5，則 LCI 為 1.09……從“有能力”到“勉強有能力”。

我相信非參數 Cpk 是使用百分位法計算的。該方法幾乎總是偏高（有時是荒謬的），並且需要大量樣本才能準確……根據我的經驗，這就是需要 n >= 5000 的方法。

[#7]

似乎沒有人回答為什麼 Cpk 和 ppm 不“相關”的部分。

在傳統的 SixSigma 計算中，假設採用 1.5 sigma 偏移來解釋過程偏移或批次/批次變化。 這意味著在 6sd（標準差）時，您需要減去 1.5sd。 如果查看正態分佈的尾部，您會發現 3.4 dppm。 在 JMP 中您可以編寫：

(1-Normal Distribution(4.5))*1e6

當 Cpk 為 2 時，JMP 僅報告 6sd 處的尾部：

(1-Normal Distribution(6))*1e6

因此，要將 JMP dppm 轉換為 SixSigma dppm，只需減去 1,5sd

[#8]

馬特：

我可以問幾個問題嗎？ 你原來帖子中的第二段在我心中提出了一些問題。 複製/粘貼到此處：

“一般來說，DOE 研究要求我們每次運行都滿足一定的 Cpk 或 Sigma 質量水平。 因此，我通過擬合曲線來分析結果數據，JMP 輸出 Cpk 和預測的 PPM 缺陷。 我用 Cpk 來證明研究結果是可以接受的。”

您能否描述一下為什麼您認為設計實驗中的特定運行需要“每次運行都滿足特定的 Cpk”？ 計算 DOE 響應結果的 Cpk 的概念對我來說沒有意義。 一般來說，過程能力指數假設指數計算中包含的觀測群體的均值和方差恆定。 在設計的實驗中，我們通常的目的是使響應具有非恆定均值（我們正在尋找的信號），並且在某些選定類型的實驗研究中，也具有非恆定方差（當方差信號是我們要尋找的信號時）之後）這就是能源部提供一種方法的全部想法，通過該方法我們可以看到信號高於噪聲。

[#9]

“一般來說，DOE 研究要求我們每次運行都滿足一定的 Cpk 或 Sigma 質量水平。 因此，我通過擬合曲線來分析結果數據，JMP 輸出 Cpk 和預測的 PPM 缺陷。 我用 Cpk 來證明研究結果是可以接受的。”

您能否描述一下為什麼您認為設計實驗中的特定運行需要“每次運行都滿足特定的 Cpk”？ 計算 DOE 響應結果的 Cpk 的概念對我來說沒有意義。 一般來說，過程能力指數假設指數計算中包含的觀測群體的均值和方差恆定。 在設計的實驗中，我們通常的目的是使響應具有非恆定均值（我們正在尋找的信號），並且在某些選定類型的實驗研究中，也具有非恆定方差（當方差信號是我們要尋找的信號時）之後）這就是能源部提供一種方法的全部想法，通過該方法我們可以看到信號高於噪聲。

[#10]

嗨，彼得！

我們當然可以討論a）如果這些是DOE的，b）是否有足夠的“幻想......和徹頭徹尾的妄想”，但在半導體行業中進行工藝窗口實驗是相當常見的，在允許的範圍內改變工藝輸入範圍，然後評估過程輸出是否有能力。正如我上面提到的，這些“DOE”的樣本量通常嚴重不足以提供任何有用的信息，但它們仍然必須運行，通常是通過命令。

[#11]

@凱文_安德森無需討論...我完全理解你最後的概念。 回到我在柯達的日子，作為一名統計學家，致力於無數的新產品商業化計劃，其中DOE 是我們產品/流程設計工作的核心......我們也完全按照您的描述進行了操作。 我並不反對或反對使用 JMP Prediction Profiler 中的模擬以這種方式創建估計的過程能力指數。

正如您提到的...我們可以討論模擬假設的優點，直到我們臉色發青...以及經常任意分配“神奇”過程能力目標，例如 1.0、1.33 或嵌合 Cpk = 1.5 代表神奇的“六西格碼”目標。如果有一天我們相遇的話，這就是對幾種成人飲料的哲學討論:)

我問OP的問題是他沒有明確表示這就是他正在做的事情。 也許我在這裡太“字面意思”了。 我再次回到試圖將 Cpk 歸因於設計實驗中的一組響應的情況，這是對 DOE 和過程能力分析的嚴重誤用。 如果我讀了他寫的東西……聽起來他肯定會這麼做？ 我當然希望不會……但我覺得有必要問。