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WesleySantos

Planejamentos para Seleção de Fatores
Planejamentos Algorítmicos para Seleção de Fatores
Planejamentos Definitivos para Seleção de Fatores
Planejamentos Fatoriais Fracionários
Planejamentos Plackett-Burman

O que são planejamentos para seleção de fatores?

Planejamentos para seleção de fatores (Screening Designs) são tipos de experimentos planejados que geralmente é conduzido como uma etapa inicial para identificar os fatores mais influentes dentre as muitas variáveis potenciais que afetam um processo ou resultado. Eles representam uma maneira eficiente e rigorosa de determinar sistematicamente quais fatores devem ser incluídos em experimentos subsequentes, utilizando um número relativamente pequeno de repetições experimentais. Seleção de fatores consiste em separar "os poucos vitais dos muitos triviais".

Quando você deve usar planejamento para seleção de fatores?

Planejamentos para seleção de fatores podem ser úteis quando qualquer uma das seguintes condições for verdadeira:

Existem muitos fatores potenciais a serem estudados.
Os fatores importantes são desconhecidos.
Os efeitos desses fatores são desconhecidos.

Pode não ser necessário filtrar fatores em todas as situações. Por exemplo, os métodos de filtragem podem não ser necessários em situações em que você tem um número pequeno de fatores ou pode arcar com todos os custos das simulações de planejamento necessárias para ajustar o modelo mais complexo que você possa imaginar.

Por que e como você utiliza planejamentos para seleção de fatores?

O processo de experimentação normalmente envolve uma sequência de planejamentos. Frequentemente nos estágios iniciais da experimentação, é possível pensar em muitos fatores que podem influenciar o processo. A primeira tarefa é reduzir a longa lista de efeitos potencialmente importantes (efeitos principais e, em alguns casos, efeitos de interação) aos poucos mais relevantes. Quando há muitos fatores em consideração, os planejamentos fatoriais completos podem ser muito demorados ou dispendiosos. Além disso, podem ser um desperdício de recursos, já que geralmente não se tem interesse em ajustar um modelo com três ou mais fatores e interações (ou pelo menos não todas!). Os planejamentos para seleção de fatores, por outro lado, podem ajudar a identificar os efeitos mais significativos em menos execuções.

A eficácia dos planejamentos para seleção de fatores e dos métodos de análise depende de quatro princípios fundamentais. Embora esses princípios não se apliquem a todas as situações, eles são suficientemente comuns na prática para serem bastante úteis.

Esparsidade

O princípio da escassez de efeitos afirma que, embora possa haver muitos fatores candidatos com muitos outros efeitos potenciais, apenas uma pequena parte deles será de fato importante para qualquer resposta específica.

Hierarquia

O princípio da hierarquia afirma que a probabilidade de um efeito ser importante diminui à medida que a ordem do termo do modelo aumenta. Em outras palavras, um termo de modelo de ordem superior, como uma interação de três fatores, tem muito menos probabilidade de ser importante do que um termo de modelo de ordem inferior, como uma interação de dois fatores, e uma interação de dois fatores tem menos probabilidade de ser importante do que um efeito principal.

Hereditariedade

O princípio da hereditariedade afirma que a presença de termos de ordem superior geralmente está associada à presença de efeitos de ordem inferior dos mesmos fatores. Assim, por exemplo, se a interação entre X1 e X3 for importante, é mais provável que o efeito principal de X1 ou de X3 também seja importante.

Projeção

A propriedade de projeção refere-se à capacidade de um planejamento manter propriedades estatísticas desejáveis (como a estimabilidade dos efeitos e a independência das estimativas) quando efeitos irrelevantes são removidos do modelo e o planejamento é "projetado" em um planejamento de menor dimensionalidade com menos fatores (os efeitos relevantes). Um planejamento com boas propriedades de projeção produzirá resultados confiáveis quando você analisar esse subconjunto de fatores.

O primeiro passo no planejamento para seleção de fatores é identificar todos os fatores associados ao seu processo. Os resultados incluirão seus fatores de interesse – os fatores que você pode alterar durante o planejamento e que espera que afetem a resposta – bem como quaisquer fatores que possam introduzir variabilidade aleatória, ou ruído, ao processo. Idealmente, você pode controlar esses fatores de ruído durante o experimento ou levar em conta seus efeitos em seu modelo estatístico. Você também deve considerar a possibilidade de efeitos de ordem superior como interações.

Na prática, porém, você pode não conseguir incluir todos os fatores potenciais e suas interações em seu planejamento. As decisões de projeto dependerão de diversas considerações, incluindo:

O número de fatores a serem analisados em relação ao seu orçamento experimental.
O tempo necessário para realizar um planejamento.
A complexidade do modelo que você deseja ajustar (ou seja, você deseja estimar apenas os efeitos principais ou também algumas ou todas as interações de dois fatores?).
A natureza e a quantidade de conhecimento prévio ou especialização na matéria.
O custo de perder informações importantes caso você não consiga detectar um efeito que seja realmente relevante.

Em alguns casos, pode ser necessário realizar mais de um experimento para identificar os efeitos importantes. Por exemplo, talvez o planejamento inicial não tenha permitido estimar interações de dois fatores, sendo necessário realizar experimentos adicionais para testá-las.

Existem muitos métodos que você pode usar para projetar um planejamento para seleção de fatores. Os planejamentos "clássicos", como os planejamentos fatoriais fracionários e o planejamento de Plackett-Burman, foram desenvolvidos no início do século XX, embora sejam amplamente conhecidos, apresentam limitações. Os métodos modernos, como os planejamentos personalizados e os planejamentos definitivos para seleção de fatores, utilizam uma abordagem algorítmica e oferecem muitas vantagens. Independentemente do método utilizado, planejamentos para seleção de fatores são um primeiro passo para determinar como melhorar ou otimizar um processo.

Planejamento para seleção de fatores: Um exemplo

Suponha que você esteja desenvolvendo um processo de fabricação onde as respostas de interesse são Rendimento e Impureza . Sua tarefa é encontrar as configurações ideais no processo que maximizem o Rendimento e minimizem a Impureza. Primeiro, você precisa entender o que afeta essas respostas e de que maneira.

Você e sua equipe identificaram nove fatores que acreditam ser importantes para afetar o Rendimento e a Impureza . Sete desses fatores são contínuos e dois são categóricos. Com base em experiências anteriores, vocês escolheram intervalos e níveis para cada fator que, caso ele seja realmente importante, produzirão uma mudança suficientemente grande na resposta para ser detectada pelo planejamento.

Os fatores e seus respectivos intervalos ou níveis são:

Tempo de mistura: 10 a 30 minutos
Pressão: 60-80 kPa
pH: 5-8
Velocidade de agitação: 100-120 rpm
Catalisador: 1-2%
Temperatura: 15-45 graus C
Taxa de alimentação: 10-15 L/min
Vendedor: Barato, Rápido, Bom
Tamanho das partículas: Pequenas, Grandes

Você não espera que todos os nove fatores sejam importantes (princípio da esparsidade dos efeitos), mas, neste momento, você não sabe quais serão. Você suspeita que possa haver pelo menos uma interação de dois fatores e possivelmente efeitos quadráticos, mas espera que eles sejam menos importantes do que os efeitos principais (princípio da hierarquia). Você também assume que quaisquer interações presentes envolverão os efeitos principais importantes que você identificou em seu planejamento (princípio da hereditariedade). Por fim, você sabe que, se puder remover os efeitos irrelevantes do seu modelo, poderá estimar os efeitos de interação que envolvem os efeitos principais importantes, mesmo que o planejamento original não permitisse sua estimativa (propriedade de projeção).

Existem muitas estratégias de seleção de fatores possíveis: planejamentos pequenos que permitem estimar apenas os efeitos principais; planejamentos de tamanho médio que permitem estimar os efeitos principais e algumas interações de dois fatores; ou planejamentos grandes que permitem estimar os efeitos principais e todas as possíveis interações de dois fatores. A estratégia a ser utilizada depende, em grande parte, das considerações descritas acima. (Os efeitos quadráticos são normalmente testados em planejamentos de otimização, após a identificação dos fatores importantes.)

Neste exemplo, suponha que você tenha um orçamento relativamente pequeno para seu planejamento para seleção de fatores, então decide começar com um planejamento que considere apenas os efeitos principais para identificar fatores importantes. Embora você reconheça que essa pode ser uma estratégia arriscada, principalmente se houver efeitos de interação mais fortes do que os efeitos principais, você se sente confortável em confiar nos princípios de seleção de fatores e reservou verba para experimentos adicionais, caso precise esclarecer os resultados deste.

Com a estratégia e o planejamento definidos, você elabora um planejamento com 22 execuções. Quatro delas são pontos centrais – execuções em que todos os fatores contínuos estão em seus níveis médios.

Existem diversas razões para considerar a inclusão de pontos centrais em um planejamento experimental. Os pontos centrais podem fornecer replicação em um planejamento que, de outra forma, não seria replicado, permitindo estimar o erro puro e obter testes estatísticos para os termos do modelo. Você pode optar por distribuir as execuções dos pontos centrais ao longo do planejamento para monitorar se ocorrem mudanças inesperadas no processo durante o experimento; espera-se que as respostas dessas execuções sejam semelhantes entre si, pois são réplicas.

No contexto de planejamento para seleção de fatores, os pontos centrais podem ser usados para detectar a presença de curvatura na resposta por meio de um teste de falta de ajuste. Um teste de falta de ajuste estatisticamente significativo indica que o modelo pode estar omitindo um ou mais termos quadráticos. Como o planejamento não foi projetado para permitir a estimativa de termos quadráticos – apenas sua detecção – um teste de falta de ajuste significativo sugere a necessidade de experimentação adicional para compreender a curvatura na resposta.

Você realiza o planejamento e registra as respostas, Rendimento e Impureza, mostradas na tabela abaixo.

Você utiliza regressão linear múltipla para ajustar um modelo para cada resposta. Os fatores são mostrados em ordem de importância (com base em uma medida chamada logworth ) para cada resposta no gráfico abaixo.

Com base no seu planejamento para seleção de fatores, você determinou que, para o Rendimento, os maiores efeitos são a Temperatura e o pH . Os maiores efeitos para as Impurezas são a Temperatura, o pH e o Fornecedor .

Com base nesses resultados, seus próximos passos podem incluir a redução do modelo (removendo termos irrelevantes), o ajuste de um novo modelo com os termos relevantes e suas interações (se possível) e a análise do teste de falta de ajuste para verificar se há indícios de curvatura em alguma das respostas. Esses resultados podem orientar suas decisões sobre planejamento subsequentes, à medida que você busca compreender e, eventualmente, otimizar seu processo.

Planejamentos Algorítmicos para Seleção de Fatores

O que é um Planejamento Algorítmico para Seleção de Fatores?

Os Planejamentos Algorítmicos para Seleção de Fatores são construídos por softwares de planejamento de experimentos (DOE) para se adequarem ao seu contexto experimental específico. Um planejamento algorítmico pode incorporar diversos tipos de fatores, restrições no espaço de planejamento, limitações na randomização e números variáveis de execuções, tudo isso resultando em um projeto estatisticamente otimizado para a seleção de fatores.

Quando devo usar um Planejamento Algorítmico para Seleção de Fatores?

Os Planejamentos Algorítmicos para Seleção de Fatores são aplicáveis em praticamente qualquer contexto de seleção de fatores. São especialmente úteis quando a situação apresenta necessidades ou limitações específicas que não podem ser atendidas por um método de seleção de fatores clássicos.

Por que usar Planejamentos Algorítmicos para Seleção de Fatores?

Planejamentos para Seleção de Fatores fornecem uma maneira eficiente de identificar qual dos muitos fatores influencia mais fortemente uma resposta. Os planejamentos algorítmicos para seleção de fatores são úteis quando os planejamentos clássicos, como os planejamentos fatoriais fracionários e os planejamentos de Plackett-Burman, são impraticáveis ou impossíveis de serem conduzidos em seu contexto experimental.

Planejamentos para seleção de fatores clássicos têm sido usados com eficácia há anos. No entanto, esses planejamentos foram criados há muitas décadas como soluções abrangentes para serem aplicadas em cenários rotineiros de planejamento de experimentos (DOE). Na prática, os pesquisadores podem encontrar contextos ou desafios que os planejamentos clássicos não conseguem acomodar facilmente. Por exemplo, um planejamento para seleção de fatores clássico pode exigir uma execução em uma área do espaço fatorial que seja inviável ou impossível de explorar, ou pode exigir um número de execuções que exceda o orçamento disponível.

Os planejamentos para seleção de fatores clássicos podem forçar a adaptação da situação para se adequar ao planejamento, o que pode exigir a exclusão de fatores ou níveis que seriam testados de outra forma, a modificação manual do planejamento em detrimento de seus benefícios estatísticos, ou outras desvantagens.

Os planejamentos algorítmicos para seleção de fatores, por sua vez, utilizam um algoritmo computacional para construir um planejamento personalizado que se adapta ao seu contexto experimental específico. Os planejamentos algorítmicos permitem diversas personalizações, incluindo, entre outras:

Especificar um número de execuções que corresponda ao seu orçamento de execuções.
Combinar diversos tipos de fatores diferentes em um único planejamento.
Restringir o espaço de planejamento para evitar combinações indesejáveis de configurações de fatores.
Impor uma variedade de restrições à aleatorização.

Como são construídos os planejamentos algorítmicos para seleção de fatores?

Um planejamento algorítmico para seleção de fatores é construído pelo software DOE com base em seus requisitos. Após especificar os fatores e seus tipos, o número desejado de execuções, as restrições no espaço de planejamento e outros parâmetros, o software utiliza um algoritmo para identificar um planejamento para seleção de fatores estatisticamente ótimo que atenda às suas especificações. Você também tem a opção de especificar se o planejamento será usado para seleção de fatores apenas de efeitos principais ou para quaisquer efeitos de ordem superior específicos de interesse.

Neste contexto, "estatisticamente ótimo" é definido por um valor numérico (um critério de otimalidade ) que quantifica uma propriedade estatística do planejamento experimental. Em um planejamento para seleção de fatores típico, o critério de otimalidade quantifica o quão bem o planejamento permite estimativas precisas dos efeitos dos fatores. Isso é feito em experimentos para seleção de fatores porque estimativas precisas dos efeitos são necessárias para determinar com exatidão quais fatores afetam mais fortemente a resposta. Outros critérios de otimalidade são úteis para outros contextos de planejamento de experimentos (DOE); por exemplo, planejamento algorítmicos de superfície de resposta normalmente usam um critério de otimalidade que quantifica o quão bem o planejamento permite a construção de um modelo que fará previsões precisas da resposta.

Qual é um exemplo de um planejamento algorítmico para seleção de fatores?

Vamos começar com o mesmo cenário apresentado na página de visão geral de planejamentos para seleção de fatores mas com complicações adicionais.

Suponha que você trabalhe em uma empresa farmacêutica que está desenvolvendo um processo de fabricação para um novo medicamento. Você precisa identificar quais fatores influenciam mais fortemente o nível de impurezas do medicamento, com o objetivo final de aplicar a metodologia de superfície de resposta esses fatores para encontrar configurações que minimizem as impurezas. Os fatores neste planejamento para seleção de fatores são:

Tempo de mistura: (contínuo; 10 a 30 minutos)
Pressão: (contínua; 60 a 80 kPa)
pH: (contínuo; 5 a 8)
Taxa de agitação: (contínua; 100 a 120 RPM)
Catalisador: (contínuo; 1% a 2%)
Temperatura: (contínua; 15° a 45° Celsius)
Taxa de alimentação: (contínua; 10 a 15 L/min)
Fornecedor: (categoria de três níveis; três fornecedores diferentes de matéria-prima)
Tamanho das partículas: (categorial de dois níveis; pequenas e grandes)

Você enfrenta duas complicações no planejamento deste experimento. Primeiro, as limitações de recursos restringem o número de execuções a 15, o que cobre menos de 2% dos 768 vértices do espaço fatorial. Com esse planejamento esparso, você precisa avaliar o efeito principal de cada fator, bem como a possibilidade de curvatura quadrática nos efeitos de um ou mais fatores contínuos, o que exige pelo menos um ponto central (ou seja, uma execução no valor médio de todos os fatores contínuos). Segundo, você sabe que executar o planejamentos em alta pressão e baixa temperatura, e vice-versa, não é viável. Portanto, você precisa restringir o planejamento para evitar execuções nessas áreas do espaço fatorial. Essa restrição é representada graficamente abaixo, com as regiões em vermelho indicando as áreas do espaço fatorial a serem evitadas.

Inicialmente, você tenta construir um planejamento para seleção de fatores clássico, o que limita imediatamente suas opções, pois a maioria dos planejamentos para seleção de fatores clássicos assume que quaisquer fatores categóricos sejam de dois níveis, enquanto o Fornecedor é de três níveis. O planejamento clássico disponível (um planejamento L18) requer um mínimo de 18 execuções e não leva em consideração a restrição de Pressão por Temperatura, então você decide rejeitar o design clássico em favor de um design algorítmico.

Usando um software de planejamento de experimentos (DOE), como o JMP, você cria um planejamento com 15 execuções, sem execuções nos cantos inviáveis do espaço fatorial. O software informa que o planejamento exigirá um mínimo de 11 execuções, o que é necessário para estimar o intercepto e os efeitos principais de sete fatores contínuos, um fator categórico de três níveis e um fator categórico de dois níveis. (Observe que um fator de k níveis requer a estimativa de k-1 parâmetros do modelo). Você ainda tem quatro execuções disponíveis no seu orçamento, então especifica que o algoritmo deve produzir um planejamento com dois pontos centrais e duas execuções replicadas. Juntas, elas ajudarão a avaliar se algum efeito contínuo apresenta curvatura quadrática. (Discutiremos isso mais detalhadamente quando analisarmos os dados.) A tabela do planejamento está abaixo, seguida por um gráfico que mostra o planejamento no espaço Pressão x Temperatura .

Você observa que o planejamento parece diferente de qualquer planejamento para seleção de fatores clássico que você já tenha visto. Tanto a pressão quanto a temperatura são medidas em cinco níveis, em vez de dois ou três. Você também nota que os pontos centrais são medidos próximos, mas não exatamente nos valores médios das faixas de pressão e temperatura (ou seja, 69,9 para pressão e 30,1 para temperatura ). Isso ocorre porque o algoritmo de planejamento encontrou um planejamento estatisticamente ótimo que obedece à sua restrição de pressão por temperatura, enquanto busca estimativas precisas dos parâmetros na fase de análise. Você percebe que a restrição foi de fato obedecida, pois não há pontos nos cantos superior esquerdo ou inferior direito do gráfico de pressão por temperatura . Em vez disso, o algoritmo posicionou os pontos o mais próximo possível desses cantos, dentro dos limites permitidos pela sua restrição.

Em seguida, você realiza 15 ensaios em ordem aleatória, medindo o nível de impureza resultante a cada vez e, então, analisa os resultados usando um modelo de regressão múltipla com apenas efeitos principais. Você descobre que a análise revela três fatores com valores p menores que 0,05, indicando evidências estatísticas de um efeito sobre a Impureza : Temperatura, Fornecedor e pH . Você conclui que os outros fatores são inativos ou têm efeitos insignificantes.

Em seguida, você cria um gráfico para entender a natureza dos efeitos que descobriu. O gráfico mostra que os efeitos da Temperatura e do pH são positivos, sendo o efeito da Temperatura maior em toda a sua faixa. Você também observa um padrão claro no efeito do Fornecedor, com o Fornecedor Barato apresentando um nível de impurezas notavelmente maior do que os Fornecedores Rápido ou Bom. Você também percebe que os dois pontos centrais (exibidos como círculos abertos) estão bem abaixo das linhas que representam os efeitos da Temperatura e do pH . Isso sugere uma curvatura quadrática em pelo menos um efeito contínuo, embora, com os pontos centrais, você não consiga identificar qual fator é o responsável.

Por fim, você consulta um teste de falta de ajuste que verifica se o seu modelo está perdendo algum efeito, como a curvatura quadrática. Esse teste requer pelo menos uma réplica no planejamentos experimental, e você especificou corretamente que o algoritmo incluísse réplicas. O valor p do teste é menor que 0,05, então você conclui que o modelo está perdendo algum efeito. Isso está de acordo com sua avaliação visual da curvatura no gráfico. Você decide prosseguir com os três fatores ativos que identificou, ampliando seu planejamento com novas execuções para produzir um planejamento de superfície de resposta que permitirá estimar a curvatura quadrática tanto para os fatores contínuos quanto para todas as interações entre os três fatores.

Falta de ajuste

Planejamentos Definitivos para Seleção de Fatores

O que são Planejamentos Definitivos para Seleção de Fatores?

Um Planejamento Definitivo para Seleção de Fatores (Definitive Screening Design - DSD) é um planejamento experimental especializado para identificar qual dos muitos fatores contínuos influencia mais fortemente uma resposta. Os DSDs requerem um número reduzido de execuções, oferecendo vantagens em relação aos planejamentos para Seleção de Fatores
padrão com tamanho de execução semelhante. Eles reduzem a ambiguidade na identificação de efeitos ativos, permitem identificar a curvatura nos efeitos de fatores individuais e possibilitam a estimação de modelos quadráticos completos em um pequeno subconjunto de fatores.

Por que você deveria usar um planejamento definitivo para seleção de fatores?

Os DSDs oferecem inúmeras vantagens em relação aos planejamentos para seleção de fatores padrão, como os planejamentos fatoriais fracionários ou de Plackett-Burman. Esses planejamentos padrão podem mascarar alguns efeitos principais e interações de dois fatores, além de confundir completamente as interações de dois fatores entre si, levando à ambiguidade na identificação de efeitos ativos.

Além disso, embora os planejamentos para seleção de fatores padrão com pontos centrais possam identificar a presença de curvatura em um ou mais fatores, eles não conseguem determinar quais fatores são a fonte da curvatura sem a necessidade de execuções adicionais. Em comparação, planejamentos definitivos para seleção de fatores oferecem diversas vantagens:

Os efeitos principais são ortogonais às interações de dois fatores, o que significa que suas estimativas não são enviesadas quando as interações de dois fatores estão ativas.
Nenhuma interação entre dois fatores está completamente confundida com outra, reduzindo a ambiguidade na identificação de efeitos ativos de interação entre dois fatores.
Todos os efeitos quadráticos são estimáveis em modelos com apenas efeitos principais e efeitos quadráticos, permitindo identificar quais fatores específicos exibem curvatura em sua relação com a resposta.

Os DSDs oferecem esses benefícios com um número reduzido de execuções. Para seis ou mais fatores, esses planejamentos requerem apenas um pouco mais de execuções do que o dobro do número de fatores. Por exemplo, com 14 fatores contínuos, um DSD de tamanho mínimo requer apenas 29 execuções, uma pequena fração do planejamento fatorial completo correspondente (2¹⁴ = 16.384 execuções).

Em comparação, um planejamento fatorial fracionário de resolução IV requer pelo menos 32 execuções. Assim como o DSD, ele evita o aliasing dos efeitos principais e das interações de dois fatores, mas, diferentemente do DSD, ele confunde completamente algumas interações de dois fatores entre si e é incapaz de avaliar a curvatura quadrática em fatores individuais, mesmo que pontos centrais sejam adicionados. O DSD coleta uma quantidade relativamente grande de informações em um planejamento eficiente.

Além de seleção de fatores, os DSDs podem permitir a otimização direta da resposta por meio da metodologia de superfície de resposta quando o número de fatores ativos é pequeno. Um DSD com seis ou mais fatores permite a estimação do modelo quadrático completo em quaisquer três dos fatores, enquanto DSDs com 18 ou mais fatores podem ajustar o modelo quadrático completo em quaisquer quatro fatores, e DSDs com 24 ou mais fatores podem ajustar o modelo quadrático completo em quaisquer cinco fatores. Isso significa que, se você tiver a sorte de ter poucos fatores ativos, poderá usar o mesmo planejamento tanto para a seleção de fatores quanto para a otimização da resposta. Caso contrário, você pode complementar seu DSD com execuções adicionais conforme necessário.

Como criar um Planejamento Definitivo para Seleção de Fatores?

Os benefícios dos DSDs devem-se à sua estrutura especial. Para ilustrar, considere esta tabela de planejamento para um DSD com seis fatores contínuos. Cada fator é codificado para ter um valor alto de 1, um valor baixo de -1 e um valor médio de 0.

O DSD é um planejamento de sobreposição, no qual cada execução é pareada com outra execução na qual os valores de todos os fatores têm seus sinais invertidos. Por exemplo, as Execuções 1 e 2 formam um par de sobreposição, com a Execução 2 simplesmente invertendo os sinais dos valores da Execução 1. O mesmo se aplica às Execuções 3 e 4, 5 e 6, e assim por diante, sendo a Execução 13 um ponto central medido no valor médio de todos os fatores. O aspecto de sobreposição do planejamento elimina o aliasing dos efeitos principais e das interações de dois fatores.

Note que, em qualquer par de estudos com sobreposição de variáveis (foldover), um fator é medido em seu valor médio em ambas as execuções, enquanto todos os outros fatores são medidos em seus valores mínimo ou máximo. Isso posiciona os pontos ao longo das bordas do espaço fatorial, e não apenas nos cantos ou no centro, como em estudos de seleção de fatores padrão. Esse aspecto do estudo torna todos os efeitos quadráticos estimáveis.

Ao representar o planejamento nos três primeiros fatores, a estrutura de um DSD fica ainda mais evidente. Observe que cada ponto (exceto o ponto central) possui um ponto de inflexão correspondente, localizado em uma posição "espelhada" em todo o cubo. O planejamento também inclui pontos médios nas bordas do espaço fatorial, sendo que cada fator é medido em seu ponto médio um total de três vezes, incluindo o ponto central.

Este exemplo de planejamento representa o número mínimo de execuções para seis fatores contínuos. Na prática, recomenda-se incluir pelo menos quatro execuções adicionais, o que é obtido pela introdução de fatores fictícios inativos ao planejamento. Isso aumenta consideravelmente a capacidade do DSD de detectar interações ativas de dois fatores e curvatura quadrática.

Então, como você pode criar seu próprio DSD? Não se preocupe em fazer isso sozinho; softwares estatísticos como o JMP podem lidar com todo o processo de planejamento para você.

Um exemplo de planejamento definitivo para seleção de fatores

Suponhamos que você seja um engenheiro em uma empresa de biotecnologia e tenha a tarefa de desenvolver um novo processo de extração com o objetivo de maximizar o rendimento, medido em miligramas. Primeiro, você precisa identificar quais fatores do processo afetam mais fortemente o rendimento e começa testando vários solventes, pH e tempos de solução. Seus fatores e intervalos são:

Metanol: (0 a 10 mL)
Etanol: (0 a 10 mL)
Propanol: (0 a 10 mL)
Butanol: (0 a 10 mL)
pH: (6 a 9)
Duração: (1 a 2 horas)

Você opta por usar um DSD porque possui todos os fatores contínuos, suspeita da presença de interações de dois fatores e curvatura quadrática e, após a seleção de fatores, deseja ajustar um modelo quadrático completo nos fatores ativos sem a necessidade de muitas (ou nenhuma) execução adicional. Você opta por incluir quatro execuções além do mínimo de 13 para melhor detectar efeitos de segunda ordem. Você usa o seguinte DSD de 17 execuções e registra os resultados na coluna Rendimento .

A visualização do efeito principal de cada fator mostra que o Metanol e o Tempo exercem fortes efeitos positivos sobre o Rendimento, com o Etanol exercendo também um efeito positivo, embora menor. As linhas para Propanol, Butanol e pH parecem planas, sugerindo efeitos principais negligenciáveis para esses fatores. Um modelo de regressão múltipla com apenas os efeitos principais confirma que os efeitos principais do Metanol, Etanol e Tempo são ativos e, como você utilizou um DSD, sabe que as estimativas dos efeitos principais não são enviesadas por quaisquer interações ativas entre dois fatores que você ainda não investigou. Você opta por prosseguir com Metanol, Etanol e Tempo como seus fatores ativos.

Como você utilizou um DSD de seis fatores e identificou apenas três fatores ativos, é possível ajustar um modelo quadrático completo sem adicionar mais execuções ao planejamento. Você utiliza regressão múltipla com um método de seleção de variáveis para chegar a um modelo final para otimização. Esse modelo revela que o efeito do Metanol exibe curvatura quadrática e que o Etanol e o Tempo exibem uma interação de dois fatores: o Etanol exerce um efeito desprezível quando o Tempo é baixo, mas um forte efeito positivo quando o Tempo é alto.

Utilizando o modelo final, você identifica as seguintes configurações de fatores ideais, que, segundo as previsões, produzirão um rendimento médio de 45,34 mg.

Metanol = 8,13 mL
Etanol = 10 mL
Tempo = 2 horas

Planejamentos fatoriais fracionários

O que é um planejamento fatorial fracionário?

Os planejamentos fatoriais fracionários são um tipo clássico de planejamento para seleção de fatores que pode ser usado quando um planejamento fatorial completo com todas as combinações possíveis de tratamentos dos fatores é muito demorado ou caro.

Um planejamento fatorial fracionário é um subconjunto, ou fração, de um planejamento fatorial completo, onde o subconjunto escolhido de combinações de tratamentos permite estimar pelo menos os efeitos principais e possivelmente algumas ou todas as interações entre dois fatores.

Quando devo usar um planejamento fatorial fracionário?

Assim como em qualquer planejamento para seleção de fatores, você usaria um planejamento fatorial fracionário nos estágios iniciais da experimentação, quando seu objetivo é selecionar fatores e identificar os mais importantes. No entanto, métodos de seleção de fatores modernos, como planejamentos algorítmicos ou planejamentos definitivos para seleção de fatores, oferecem mais flexibilidade em termos do número de execuções necessárias ou dos efeitos que podem ser estimados.

Como faço para usar planejamentos fatoriais fracionários?

A maioria dos planejamentos para seleção de fatores, incluindo os planejamentos fatoriais fracionários, apresentará algum nível de confundimento ou aliasing, pois não se executam todas as combinações de tratamento possíveis como em um fatorial completo. Em outras palavras, alguns dos efeitos serão confundidos (ou aliased) com outros efeitos. Quando dois ou mais efeitos são confundidos entre si, torna-se impossível estimar seus impactos individuais na resposta separadamente durante a fase de análise de dados.

Vamos nos concentrar no planejamento fatorial fracionário de dois níveis, onde cada fator possui apenas dois níveis. Esse planejamento é um subconjunto de um planejamento fatorial completo de dois níveis, ou planejamento 2^k, onde k é o número de fatores. O número de tratamentos é uma potência de dois, e os planejamentos são tipicamente definidos pela proporção do planejamento fatorial completo para o mesmo número de fatores (por exemplo, 1/2 fração,1/4 fração, 1/8 fração, etc.).

Geradores: Os planejamentos fatoriais fracionários de dois níveis são denotados por 2^k-r, onde r é o número de geradores usados para escolher o subconjunto do planejamento fatorial completo. (Algumas fontes denotam isso como p, em vez de r .) Os geradores são termos de interação de ordem superior que especificam como escolher a fração de execuções do planejamento fatorial completo. Eles são as regras que determinam quais efeitos são confundidos entre si. Você pode usar geradores para construir planejamentos fatoriais fracionários manualmente, mas a maioria das pessoas simplesmente usa software estatístico para isso!

Resolução: A resolução de um planejamento fatorial fracionário indica o quão bem você consegue separar os efeitos principais das interações. Em outras palavras, ela mede o grau de confundimento no planejamento . Quanto maior a resolução de um planejamento, menor o confundimento. Em um planejamento de resolução III, os efeitos principais não são confundidos com quaisquer outros efeitos principais, mas são confundidos com pelo menos algumas interações de dois fatores. Em um planejamento de resolução IV, os efeitos principais não são confundidos com outros efeitos principais nem com quaisquer interações de dois fatores, mas as interações de dois fatores podem ser confundidas entre si. Em planejamentos de resolução V, os efeitos principais e todas as interações de dois fatores podem ser estimados, mas as interações de dois fatores são confundidas com interações de três fatores.

Vamos imaginar um planejamento fatorial fracionário de três fatores em quatro execuções, ou um planejamento 2 ^{3-1 .}

Este é um planejamento de resolução III, portanto os efeitos principais ( X1, X2 e X3 ) não são confundidos (aliasing) entre si, mas cada um deles é confundido com uma interação de dois fatores.

Nesse cenário, X1 está confundido com a interação de dois fatores, X2*X3 . Ao analisar os dados do planejamento, o modelo estatístico incluirá estimativas apenas para X1, X2 e X3 ; os efeitos da interação não são estimáveis. No seu modelo, a estimativa para X1 é, na verdade, a combinação dos efeitos de X1 e da interação X2*X3, o que significa que, se a estimativa for estatisticamente significativa, você não saberá se o efeito principal ou a interação é o importante. Seria necessário realizar planejamento adicionais para isolar seus efeitos individuais.

Vamos considerar um cenário onde você deseja estudar como os fatores em um processo de fabricação de semicondutores podem influenciar a espessura do filme fino resultante crescido em wafers. Os quatro fatores (e seus níveis mínimo e máximo) são: Fluxo de gás (250, 275), Temperatura (825, 850), Potência LF (Baixa Frequência) (180, 260) e Potência HF (Alta Frequência) (750, 850).

Um planejamento fatorial completo, utilizando todas as combinações de tratamento possíveis, exigiria 16 repetições, mas você gostaria de determinar quais fatores influenciam a espessura em um planejamento menor. Um planejamento fatorial fracionário com oito repetições (uma fração de ½) seria um planejamento de variáveis instrumentais de resolução, o que significa que os efeitos principais não serão confundidos com nenhuma interação. Você também poderá estimar algumas interações de dois fatores, embora elas sejam confundidas com outras interações de dois fatores. As oito combinações de tratamento para este planejamento ^2⁴⁻¹ são ilustradas abaixo.

A confusão entre as interações de dois fatores é a seguinte:

Ao ajustar um modelo aos seus dados, apenas uma interação de cada conjunto de interações confundidas pode ser estimada. Por exemplo, o modelo pode incluir Fluxo de Gás*Temperatura ou Potência de Baixa Frequência*Potência de Alta Frequência, mas não ambos. E lembre-se de que, qualquer que seja o termo incluído no modelo, a estimativa é a soma de ambos os efeitos; eles não podem ser separados. Incluiremos as interações da coluna da esquerda ao ajustar o modelo, mas essa escolha é arbitrária (neste exemplo, ela é determinada pela ordem em que os efeitos principais foram inseridos no planejamento experimental).

Você realiza o planejamento e registra os resultados para a variável resposta, Espessura . A coluna Padrão na tabela apresentada indica os valores mínimo (−) e máximo (+) dos fatores em cada combinação de tratamento. Observe que os tratamentos estão ordenados aleatoriamente.

Analisando um planejamento fatorial fracionário

A análise de resultados experimentais consiste na construção de um modelo estatístico que descreve o impacto dos fatores na resposta. Com um total de oito execuções, é possível ajustar um modelo que inclui o intercepto e sete termos: quatro efeitos principais e três das seis interações de dois fatores. Isso é chamado de modelo saturado, o que significa que ele possui o mesmo número de estimativas (parâmetros) que o número de pontos de dados.

Os efeitos principais não são confundidos com as interações de dois fatores, mas cada um deles é confundido com as interações de três fatores. Felizmente, o princípio da hierarquia dos planejamentos para seleção de fatores nos diz que os termos de ordem superior do modelo, como as interações de três fatores, são tipicamente menos propensos a serem importantes do que os termos de ordem inferior, como os efeitos principais. Com base nesse princípio e em seu conhecimento da área, você pode estar disposto a assumir que os efeitos principais são os principais contribuintes para as estimativas, enquanto as contribuições das interações de três fatores são negligenciáveis.

Conforme mencionado acima, as interações de dois fatores são confundidas entre si. Se a interação Fluxo de Gás*Temperatura for um efeito importante no modelo, por exemplo, é possível que o efeito importante seja, na verdade, Potência de Baixa Frequência*Potência de Alta Frequência, ou talvez ambos os efeitos de interação contribuam para a resposta.

O modelo ajustado abaixo fornece estimativas para cada termo, mas em um modelo saturado não há graus de liberdade para calcular o erro padrão, portanto, não é possível obter uma razão t ou um valor p (indicado por Prob>|t| na imagem abaixo). Em outras palavras, não é possível testar a significância estatística das estimativas.

Felizmente, existe uma maneira de avaliar a importância dos efeitos ao analisar um modelo saturado, e ela se baseia no princípio da esparsidade dos planejamentos para seleção de fatores. O princípio da esparsidade parte do pressuposto de que alguns efeitos não têm um impacto significativo na resposta e podem ser tratados como ruído aleatório. Esses efeitos não significativos são usados para produzir uma estimativa do erro experimental conhecida como Erro padrão Pseudo de Lenth (PSE de Lenth).

Os valores absolutos das estimativas de efeito padronizadas são plotados em um gráfico chamado gráfico meio-normal (ou gráfico de probabilidade meio-normal), juntamente com uma linha cuja inclinação é igual ao PSE de Lenth. Efeitos que se situam próximos à linha podem ser considerados irrelevantes (ou seja, ruído aleatório), enquanto efeitos relevantes se situam mais distantes da linha.

Existem dois efeitos principais identificados no gráfico como importantes: Potência de Baixa Frequência (LF) e Potência de Alta Frequência (HF) . O terceiro efeito importante identificado é a interação Fluxo de Gás*Temperatura . É aqui que o conhecimento especializado e a revisão da confusão de efeitos no planejamento do estudo podem ser úteis. Lembre-se dos sinônimos para as interações de dois fatores:

A interação entre Fluxo de Gás*Temperatura está confundida com Potência de Baixa Frequência*Potência de Alta Frequência , o que significa que a estimativa para Fluxo de Gás*Temperatura reflete, na verdade, o impacto de ambos os termos de interação. Eles podem contribuir igualmente para a resposta, ou um pode ser desprezível enquanto o outro é o fator realmente importante.

O princípio da hereditariedade em planejamentos para seleção de fatores nos diz que a presença de um termo de ordem superior está tipicamente associada à presença de efeitos de ordem inferior dos mesmos fatores. Neste exemplo, os principais efeitos importantes são a Potência de Baixa Frequência (LF) e a Potência de Alta Frequência (HF), e não o Fluxo de Gás ou a Temperatura, o que sugere que a interação entre eles pode ser o fator importante. Se um especialista no assunto sabe que a Potência de Baixa Frequência e a Potência de Alta Frequência frequentemente interagem nesse tipo de processo, mas não espera que haja uma interação entre o Fluxo de Gás e a Temperatura nos níveis utilizados neste planejamento, isso forneceria suporte adicional para tal conclusão.

Conclusão

O objetivo deste planejamento inicial foi selecionar quatro fatores candidatos em um pequeno número de execuções e ajustar um modelo para encontrar os mais importantes. Você pode usar esses resultados para orientar as próximas fases da experimentação. Por exemplo, você pode reduzir o modelo removendo os efeitos principais e as interações que parecem ser irrelevantes (com base no gráfico de distribuição normal e no conhecimento da área), realizar um planejamento para confirmar esses resultados e, em seguida, usar a metodologia de superficie de resposta para encontrar as melhores configurações dos fatores para otimizar a resposta.

Se os resultados não forem tão claros quanto neste exemplo, você pode complementar os dados coletados com execuções experimentais adicionais. Uma opção seria executar os tratamentos do planejamento fatorial completo que não foram incluídos no planejamento fatorial fracionário original. Ou você pode escolher execuções direcionadas para permitir a estimativa de interações específicas de interesse, em vez de completar todas as execuções do planejamento fatorial completo.

Essa abordagem de primeiro realizar um planejamento fatorial fracionário ou qualquer outro tipo de planejamento para seleção de fatores e depois prosseguir com experimentação adicional costuma ser mais eficiente e representar um melhor uso dos recursos do que realizar o fatorial completo desde o início.

Planejamento Plackett-Burman

O que é um planejamento Plackett-Burman?

O planejamento de Plackett-Burman é um tipo de experimento planejado usado quando se precisa avaliar um grande número de fatores em um número relativamente pequeno de execuções experimentais. Esses planejamentos são uma classe de planejamentos fatoriais fracionários que se concentram em identificar quais fatores são os mais importantes, assumindo que as interações entre os fatores são desprezíveis. Assim como outros planejamentos para seleção de fatores, eles são especialmente úteis nos estágios iniciais.

Quando você deve usar um planejamento de Plackett-Burman?

Os planejamentos de Plackett-Burman podem ser uma boa escolha quando se tem um grande número de fatores e o principal interesse é estimar seus efeitos principais. Eles também oferecem mais opções em termos do tamanho do planejamento. O número de execuções em um fatorial fracionário padrão é uma potência de dois (ou seja, 4, 8, 16, 32, 64, ...). Em um planejamento de Plackett-Burman, o número de execuções é um múltiplo de quatro (ou seja, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...), portanto, esses planejamentos não aumentam de tamanho tão rapidamente. No entanto, métodos de seleção de fatores modernos, como planejamentos algorítmicos para seleção de fatores ou planejamentos para seleção de fatores, oferecem mais flexibilidade em termos do número de execuções necessárias e dos efeitos que podem ser estimados.

Por que (e como) você usa um planejamento de Plackett-Burman?

Em comparação com um planejamento fatorial fracionário padrão, um planejamento de Plackett-Burman oferece maior controle sobre o tamanho do planejamentos para seleção de fatores. Em um planejamento fatorial fracionário padrão, você pode ter a opção de um planejamento com 16 ou 32 ensaios, mas nada intermediário. Em um planejamento de Plackett-Burman, existem três opções adicionais entre um planejamento com 16 e 32 ensaios: 20, 24 ou 28 ensaios. Existem outras diferenças importantes entre os planejamentos de Plackett-Burman e os planejamentos fatoriais fracionários padrão.

Resolução: A resolução de qualquer planejamento fatorial fracionário indica o quão bem você consegue separar os efeitos principais das interações. Em outras palavras, ela mede o grau de confundimento no planejamento . Os planejamentos fatoriais fracionários padrão são de resolução III, IV ou V. Quanto maior a resolução, menor o confundimento. Os planejamentos de Plackett-Burman são quase sempre de resolução III, o que significa que você pode estimar os efeitos principais independentemente, pois eles não são confundidos entre si. No entanto, nesses planejamentos, os efeitos principais são parcialmente confundidos com interações de dois fatores. Os resultados de um planejamento de Plackett-Burman são mais úteis em casos nos quais você pode assumir que os efeitos de interação são fracos ou negligenciáveis.

Confusão: Como mencionado anteriormente, em um planejamento de Plackett-Burman, a confusão dos efeitos é parcial, e não completa (como ocorre em um fatorial fracionário padrão). Essa confusão parcial leva a um aumento na variância das estimativas, mas ainda é possível encontrar efeitos significativos. Como um dos principais objetivos em planejamentos para seleção de fatores é identificar os fatores importantes dentre um grande número de fatores candidatos, é comum constatar que muitos deles não são relevantes. Quando é possível remover os fatores irrelevantes do modelo, esses planejamentos apresentam boas propriedades de projeção, frequentemente se reduzindo a fatoriais completos com grande parte – ou, em alguns casos, toda – a confusão eliminada.

Em alguns casos, vale a pena considerar o uso de um planejamento definitivo para seleção de fatores em vez de um planejamento de Plackett-Burman. Você pode aprender mais sobre a comparação entre eles aqui.

Exemplo de um planejamento Plackett-Burman de 10 fatores em 12 execuções

Vamos imaginar que uma equipe de engenharia de um fabricante de materiais poliméricos queira realizar um planejamento para identificar os fatores que podem influenciar a dureza de uma nova formulação de material. Dez fatores candidatos são escolhidos, e cada um será estudado em dois níveis.

Um fatorial completo de 2^k para 10 fatores em dois níveis exigiria 2¹⁰ ou 1.024 execuções – claramente uma escolha inviável. Como os engenheiros acreditam que apenas alguns fatores serão os principais determinantes da dureza do material, eles decidem que um planejamento para seleção de fatores seria a melhor opção. Poderia-se executar um fatorial fracionário padrão. Algumas possíveis escolhas de planejamento seriam:

O planejamento com fração de 1/128 em oito execuções não seria uma boa escolha, pois é apenas um planejamento de resolução II. Isso significa que não seria possível estimar todos os 10 efeitos principais independentemente, porque alguns efeitos principais estariam totalmente confundidos com outros efeitos principais. O planejamento com fração de 1/64 em 16 execuções é um planejamento de resolução III. Nesse caso, os 10 efeitos principais podem ser estimados independentemente uns dos outros. Todas as interações de dois fatores estão confundidas com outras interações de dois fatores, portanto, não podem ser estimadas independentemente. Um planejamento com fração de 1/32 em 32 execuções é um planejamento de resolução IV, o que significa que os efeitos principais podem ser estimados independentemente uns dos outros e de quaisquer interações de dois fatores. Há, no entanto, confusão entre algumas das interações de dois fatores.

O planejamento fatorial fracionário de resolução 1/64 (nível III) poderia ser uma boa escolha. No entanto, devido ao custo do planejamento, juntamente com outras restrições, os engenheiros preferem projetar um planejamento que possa ser realizado com no máximo 12 execuções. O planejamento fatorial fracionário padrão exigiria 16 execuções – quatro a mais do que os experimentadores estão dispostos a fazer.

Existe, no entanto, um planejamento Plackett-Burman de resolução III para 10 fatores que requer apenas 12 execuções. Este planejamento, juntamente com os resultados de dureza, é mostrado na tabela abaixo.

Antes de analisar os dados, vamos observar algumas propriedades deste planejamento que é importante ter em mente.

Conforme mencionado anteriormente, os 10 efeitos principais neste planejamento de Plackett-Burman podem ser estimados independentemente uns dos outros. Ou seja, não há fatores de confusão entre eles. Cada um dos efeitos principais, no entanto, apresenta confusão parcial não apenas com algumas interações de dois fatores, mas com muitas. E as interações de dois fatores também apresentam confusão parcial com diversas outras interações de dois fatores. No planejamento de Plackett-Burman para o planejamento de Dureza, por exemplo, o efeito principal da Resina apresenta confusão parcial com 36 interações de dois fatores diferentes, e a interação de dois fatores Resina*Monômero apresenta confusão parcial com outras 28 interações de dois fatores!

Claramente, esse fator de confusão seria muito difícil de resolver sem um número relativamente grande de planejamentos adicionais, mesmo com a aplicação de conhecimento especializado. Consequentemente, ao analisar um planejamento de Plackett-Burman, deve-se assumir que apenas os efeitos principais são potencialmente importantes, e não as interações.

Com 10 fatores e um modelo que contém apenas os efeitos principais, um planejamento de 12 ensaios tem o número exato de ensaios necessários para obter uma estimativa do erro experimental, permitindo calcular os valores p para avaliar a significância estatística dos efeitos. As estimativas para cada um dos efeitos principais, juntamente com suas respectivas estatísticas de teste e valores p (denotados por Prob>|t| ), são apresentadas abaixo. Lembre-se de que cada um dos efeitos principais é parcialmente confundido com múltiplas interações de dois fatores. Ao concluir que um efeito principal é significativo, você assume que os impactos dessas interações confundidas são negligenciáveis.

Uma estratégia comum na fase de seleção de fatores é usar um nível de significância (alfa) mais alto ao decidir quais termos são importantes, para evitar perder fatores que realmente impactam a resposta. Por exemplo, você pode escolher um nível de significância de 0,10 antes de analisar os dados da seleção de fatores. Em planejamentos subsequentes com os fatores importantes identificados no estudo de seleção de fatores, você provavelmente usaria um nível de significância mais baixo (por exemplo, 0,05) para avaliar a significância dos termos do modelo.

Utilizando um nível de significância de 0,10, três fatores parecem ser importantes: Plastificante, Carga e Taxa de Resfriamento . A Carga tem o maior efeito, com uma estimativa padronizada de 7,25, seguida pelo Plastificante (2,75) e pela Taxa de Resfriamento (1,75).

Conclusão

Em planejamentos para seleção de fatores, a intenção não é construir um modelo que descreva completamente a relação entre os fatores e a resposta. Em vez disso, o objetivo é encontrar um subconjunto de todos os fatores candidatos para orientar a próxima rodada de experimentação. Com base nos resultados do exemplo acima, um próximo passo lógico seria projetar um planejamento apenas com Carga, Plastificante e Taxa de Resfriamento para estimar os efeitos principais e, possivelmente, suas interações. Em uma situação em que os resultados do planejamento inicial de Plackett-Burman sejam menos claros, o planejamento original pode ser aprimorado com execuções adicionais para eliminar alguns ou todos os fatores de confusão. Depois de identificar os fatores importantes e suas potenciais interações, você pode dar o próximo passo, que é projetar planejamentos para encontrar as configurações de fatores que otimizam sua resposta ou respostas.