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WesleySantos

Metodologia de Superfície de Resposta
Planejamento Algorítmico de Superfície de Resposta
Planejamento Composto Central
Planejamento Box-Behnken

O que é a metodologia de superfície de resposta ?

A metodologia de superfície de resposta (RSM) é utilizada para desenvolver, aprimorar ou otimizar um produto ou processo. Essa metodologia envolve um conjunto de diversas técnicas estatísticas, gráficas e matemáticas que são usadas para explorar e modelar o formato de uma resposta ao longo da região experimental.

Quando se deve utilizar a metodologia de superfície de resposta?

Utilize planejamentos para seleção de fatores para identificar os fatores importantes na determinação da qualidade do seu produto ou dos resultados do seu processo. Após identificar os fatores importantes, a RSM (Metodologia de Superfície de Resposta) ajuda a determinar as configurações desses fatores para otimizar sua(s) resposta(s). Especificamente, a RSM pode ajudar se você tiver:

Tenha em mente um objetivo geral para sua resposta (por exemplo, quanto maior, melhor; quanto menor, melhor; ou dentro de uma determinada faixa, melhor).
Um objetivo específico para sua meta (por exemplo, a resposta deve ser de pelo menos 90%, inferior a 5 mg/L ou de 20 ± 0,1 mm).
Mais de uma resposta, cada uma com um objetivo específico.

Além disso, a RSM é mais útil quando se tem certeza de que existe um ponto ótimo dentro da região experimental.

Por que usar a metodologia de superfície de resposta?

Vamos supor que você usou um planejamento para seleção de fatores para reduzir a lista de possíveis fatores importantes em seu processo. Agora, você deseja encontrar as configurações de fatores que otimizam uma ou mais respostas, mas precisa de informações mais detalhadas do que as que podem ser obtidas com um planejamento para seleção de fatores típico.

Ou talvez você já saiba quais fatores são importantes, mas suspeite que o processo possa ser aprimorado para melhor atender aos seus objetivos. Em ambos os casos, compreender o formato da resposta – a superfície de resposta – ajudará você a identificar as configurações de fatores que, segundo as previsões, produzirão a resposta ideal, seja ela definida (máxima, mínima ou alvo).

Vamos assumir, por ora, que todos os fatores em consideração são contínuos.

Um fator experimental testado em dois níveis fornece os dados necessários para estimar um efeito linear. Para um planejamento com um único fator, a superfície de resposta é modelada como uma linha; para dois fatores, a superfície é modelada como um plano; e para três ou mais fatores, a superfície é modelada como um hiperplano.

Mas, frequentemente, o efeito de um fator na resposta não é linear. Pode haver um pico (máximo) ou um vale (mínimo) na resposta entre os níveis baixo e alto de um fator. Em outras palavras, você pode observar curvatura na superfície de resposta. Nesses casos, as condições ótimas são difíceis ou até mesmo impossíveis de encontrar usando planejamentos que assumem uma resposta linear. Para estimar a curvatura na resposta, você precisa adicionar novos efeitos ao seu modelo, o que requer mais pontos de dados. Por exemplo, para estimar um efeito quadrático (isto é, X² ), um fator contínuo deve ser testado em três níveis, não apenas dois. Os planejamentos RSM incluem um terceiro nível (ou às vezes mais) para cada fator contínuo em seu planejamento.^.

Esses planejamentos podem ser realizados como planejamentos independentes, mas também podem se basear em seus dados existentes para estimar efeitos quadráticos, especificando níveis de fatores e combinações de tratamentos que não foram incluídos em planejamentos anteriores. Suponha que você tenha realizado um planejamento para seleção de fatores para descobrir quais fatores são importantes. Você já coletou dados valiosos sobre seu sistema ou processo, mas normalmente não terá os dados necessários para estimar a curvatura. Aumentar seus dados existentes com um planejamento subsequente que inclua um terceiro nível para os fatores contínuos pode ser uma maneira eficiente de modelar a superfície de resposta.

Encontrar as configurações de fatores que otimizam uma ou mais respostas pode ser um desafio. Na maioria das situações, uma resposta depende de múltiplos fatores, tornando a forma da superfície de resposta multidimensional e potencialmente complexa se os fatores interagirem entre si. A metodologia de superfície de resposta permite explorar essa superfície para encontrar as melhores configurações de fatores dentro da região experimental para atingir os objetivos de resposta.

Metodologia de superfície de resposta: um exemplo

Vamos supor que estejamos interessados em otimizar um processo, identificando quais configurações de fatores produzem o maior rendimento e a menor impureza . Fomos informados de que as metas para as duas respostas são igualmente importantes. Com base em conhecimento prévio, sabemos que três fatores são importantes, mas queremos aprimorar o processo encontrando as condições operacionais que melhor atendam às nossas metas. Neste exemplo, não estamos aprimorando um projeto anterior, como descrito acima, mas criando um novo projeto RSM.

As respostas e os fatores são:

Rendimento: O objetivo da resposta é maximizar (quanto maior, melhor).
Impureza: O objetivo da resposta é minimizar (quanto menor, melhor).
pH: O intervalo do fator é de 5 a 8.
Temperatura: O intervalo do fator é de 15° a 45° Celsius.
Fornecedor: Existem três fornecedores (níveis de fator): Bom, Rápido e Barato

Para ambos os fatores contínuos, pH e Temperatura, queremos determinar se há um pico ou um vale na resposta entre os níveis alto e baixo dos fatores. A faixa de interesse para o pH é de 5 a 8. Para entender se o efeito do pH sobre o Rendimento e a Impureza não é linear, testamos um terceiro nível intermediário entre 5 e 8 (6,5). Fazemos o mesmo para a Temperatura, com níveis de 15°, 30° e 45°. Os três níveis nos permitem estimar o efeito quadrático (curvatura) para os fatores contínuos. Efeitos quadráticos não podem ser estimados para fatores categóricos. Também estamos interessados em saber se há alguma interação entre os três fatores. Um planejamento de Metodologia de Superfície de Resposta (RSM) com 18 ensaios nos permitirá estimar os efeitos principais, as interações entre dois fatores e os efeitos quadráticos.

Após a realização do planejamento, as respostas são registradas na tabela de dados.

Utilize regressão linear múltipla para modelar as respostas. O modelo completo para ambas as respostas inclui os seguintes termos:

Interceptar
Três efeitos principais ( pH, temperatura e fornecedor )
Três interações de dois fatores
Dois efeitos quadráticos (para os fatores contínuos)

Após ajustar modelos separados para Rendimento e Impureza, você pode usar a seleção de variáveis para remover os termos não significativos dos modelos. Os termos que permanecem nos modelos reduzidos para cada resposta são mostrados na tabela abaixo.

Nota: Os termos do modelo em itálico não foram significativos, mas permanecem nos modelos porque estão envolvidos em termos de ordem superior.

Constatamos que tanto o pH quanto a temperatura, bem como um ou mais de seus efeitos de ordem superior, foram importantes para ambas as respostas. No entanto, o fornecedor (e sua interação com o pH ) foi importante apenas para a impureza .

É possível visualizar o formato da superfície de resposta para os fatores contínuos com um gráfico de superfície tridimensional. Nos gráficos, você pode observar em que parte da região experimental é possível obter valores mais altos de Rendimento e valores mais baixos de Impureza .

Colheita

Impureza

Você também pode visualizar a superfície de resposta observando as seções transversais da superfície ou perfis. Aqui você pode ver como a alteração do nível de um fator individual afeta os valores previstos das respostas (mostrados à esquerda). E você pode ver como os perfis dos fatores envolvidos nas interações mudam dependendo do nível do outro fator.

Os objetivos da resposta são maximizar o Rendimento e minimizar as Impurezas . É possível encontrar uma combinação de configurações de fatores dentro da região experimental que equilibre as compensações entre ambos os objetivos. Neste exemplo, definir o pH para 6,85, a Temperatura para 34,25° e usar o método Rápido do Fornecedor prevê maximizar o Rendimento em 94,12% e minimizar as Impurezas em 0,89%.

Pode haver outras combinações de fatores que produzam resultados semelhantes. Você também pode encontrar configurações que produzam um Rendimento maior, por exemplo, mas à custa da minimização de Impurezas ou vice-versa. Você pode estar disposto a aceitar essa compensação se otimizar uma das respostas for mais importante do que a outra.

Planejamento Algorítmico de Superfície de Resposta

O que é o Planejamento Algorítmico para a Metodologia de Superfície de Resposta (RSM)?

Uma abordagem de planejamento algorítmico para RSM utiliza projetos I-ótimos, que são semelhantes em suas propriedades estatísticas aos projetos clássicos usados na metodologia de superfície de resposta para otimização de resposta, como os projetos compostos centrais e os projetos de Box-Behnken. Os projetos algorítmicos buscam maximizar um dos vários critérios de otimização, incluindo a otimalidade I. A otimalidade I visa minimizar a variância da predição e é usada para modelos de segunda ordem (efeitos principais mais quadráticos e interações de duas vias), onde predições precisas têm prioridade na otimização da resposta.

Quando devo usar o planejamento algorítmico para RSM?

Os planejamentos algorítmicos para RSM podem ser usados quando o objetivo é a otimização. Eles são especialmente úteis quando você precisa de flexibilidade no seu projeto além do que os projetos clássicos oferecem. Por exemplo, o uso de planejamentos algorítmicos para RSM seria eficaz quando você tem múltiplos tipos de fatores ou restrições no espaço de projeto.

O planejamento algorítmico para RSM pode incluir:

Tipos de fatores categóricos.
Combinações de fatores inviáveis.
Bloqueio.
Modelos não padronizados.
Randomização restrita.
Um orçamento personalizado para a execução.

Uma introdução ao planejamento algorítmico para RSM

Uma abordagem de planejamento algorítmico para RSM (Metodologia de Superfície de Resposta) adapta seu projeto ao seu problema, em vez de tentar encaixar seu problema em um projeto predeterminado. Softwares de DOE (Planejamento de Experimentos), como o JMP, utilizam um algoritmo para criar um projeto RSM que atenda às suas especificações, maximizando um dos diversos critérios de otimização. O critério de otimização utilizado para RSM é o critério I-otimalidade, que prioriza previsões precisas.

Vamos analisar duas situações comuns em que os projetos algorítmicos podem proporcionar flexibilidade para a Metodologia de Superfície de Resposta (RSM). Há muitas situações em que um fator categórico também é de interesse em um projeto de RSM. Por exemplo, suponha que queiramos entender como três fornecedores impactam nossa resposta de interesse, além de três fatores contínuos. Tradicionalmente, executaríamos um projeto de RSM separado para cada fornecedor, já que um fator categórico não poderia ser incluído no projeto de RSM clássico.

Para três fatores contínuos, poderíamos executar um projeto Box-Behnken com 15 execuções. Uma execução de 15 execuções do projeto Box-Behnken para cada um dos três fornecedores resulta em um total de 45 execuções, o que rapidamente excede nosso orçamento de execuções. Com projetos algorítmicos, no entanto, poderíamos incluir o fornecedor como um fator, além dos três fatores contínuos, e executar um único projeto para entender o impacto na resposta em 24 execuções. As 24 execuções são baseadas em heurísticas para criar um projeto balanceado para os termos do modelo de segunda ordem proposto, com algumas execuções extras para estimar um termo de erro.

Outra situação em que os planejamentos algorítmicos para RSM podem fornecer flexibilidade é quando temos combinações práticas de níveis de fatores que sabemos de antemão serem inviáveis por razões como segurança. Por exemplo, considere que estamos otimizando um novo processo de preparo de pizza. Há condições que sabemos que não produziriam uma pizza aceitável. Assar uma pizza em alta temperatura e por um longo período resultará em uma pizza queimada. Da mesma forma, assar uma pizza em baixa temperatura por um curto período resultará em uma pizza mal assada. Neste exemplo, a região de projeto tem formato irregular e apresenta restrições.

Os planejamentos algorítmicos para RSM nos dão a flexibilidade necessária para lidar com esses desafios de projeto, bem como com outros casos, como bloqueio e um orçamento de execução personalizado. Os planejamentos algorítmicos podem gerar projetos clássicos usados na metodologia de superfície de resposta quando isso for ideal para as especificações do projeto.

Um exemplo de planejamento algorítmico para RSM

Vamos explorar com mais detalhes o planejamento apresentado na visão geral do projeto RSM. O objetivo do planejamento é aprimorar um processo encontrando as condições operacionais que produzem o maior rendimento e a menor impureza . Maximizar o rendimento é tão importante quanto minimizar a impureza . Para criar um planejamento algorítmico, primeiro escolhemos as respostas e os fatores.

As respostas e os fatores são:

Rendimento: O objetivo da resposta é maximizar (quanto maior, melhor).
Impureza: O objetivo da resposta é minimizar (quanto menor, melhor).
pH: O intervalo do fator é de 5 a 8.
Temperatura: O intervalo do fator é de 15° a 45° Celsius.
Fornecedor: Existem três fornecedores (níveis de fator): Bom, Rápido e Barato.

As decisões operacionais sobre quais configurações de pH e temperatura usar, juntamente com qual fornecedor, são baseadas em como esses fatores irão prever o rendimento e as impurezas . O conhecimento técnico também é importante para definir faixas estreitas de valores para os fatores. É fundamental que o rendimento e as impurezas apresentem a menor margem de erro possível para que as decisões operacionais sejam precisas. O critério de otimização I-ótimo é ideal porque minimiza a variância da previsão.

Em seguida, precisamos propor um modelo estatístico inicial. O modelo estatístico proposto está diretamente relacionado ao objetivo de otimização deste planejamento. Queremos propor um modelo de segunda ordem que inclua termos quadráticos e de interação, os quais oferecem flexibilidade para prever e otimizar o Rendimento e a Impureza . Os termos quadráticos para os fatores contínuos nos permitem determinar se há um pico ou um vale no Rendimento ou na Impureza entre os níveis alto e baixo de pH e Temperatura . Os efeitos quadráticos não podem ser estimados para fatores categóricos. Quando os efeitos quadráticos são especificados no modelo estatístico inicial proposto, um terceiro nível, o ponto médio, é adicionado ao planejamento para pH e Temperatura . No planejamento, o pH será testado em 5, 6,5 e 8, enquanto a Temperatura será testada em 15 °C, 30 °C e 45 °C.

Os termos do modelo incluídos no modelo estatístico inicial estão indicados na figura abaixo.

Um planejamento I-ótimo é gerado com base nos termos do modelo que incluímos. Se fizéssemos outras escolhas, como restrições na região do planejamento, estas influenciariam o projeto gerado. Neste exemplo, não tínhamos restrições ou outras escolhas que pudessem influenciar o projeto. O planejamento consiste no número de execuções necessárias para estimar o modelo estatístico proposto, mais cinco ou seis execuções únicas extras para estimar o erro do modelo. Para o nosso exemplo, um planejamento RSM com 18 execuções é proposto, conforme mostrado abaixo.

Este planejamento I-ótimo minimiza a variância média da previsão, como pode ser observado nas figuras abaixo. Você notará que a variância da previsão permanece baixa em grande parte do espaço de projeto, enquanto aumenta próximo aos limites desse espaço. Os perfis abaixo mostram a amplitude do fator no eixo X e a variância no eixo Y.

Os valores de Rendimento e Impureza são registrados na tabela de dados após a execução do planejamento, seguindo a ordem de execução planejada.

Para analisar os dados experimentais, utilizaremos regressão linear múltipla para ajustar o modelo estatístico inicial "completo" especificado para Rendimento e Impureza . Um modelo individual é ajustado para cada resposta, Rendimento e Impureza . Os termos do modelo são os mesmos que especificamos durante a configuração do projeto e incluem os seguintes termos:

Interceptar.

Três efeitos principais ( pH, temperatura e fornecedor ).

Três interações de dois fatores.

Dois efeitos quadráticos (para os fatores contínuos).

Para ambos os modelos, os efeitos inativos são removidos usando seleção de variáveis. Os efeitos ativos são termos estatisticamente significativos que influenciam as respostas. Observando o resumo dos efeitos para ambos os modelos com os efeitos ativos, vemos que a curvatura é um efeito ativo para Temperatura e pH com o termo quadrático. Notamos também que existem interações ativas entre pH e Fornecedor, bem como entre pH e Temperatura.

Vamos analisar o modelo reduzido para Rendimento e Impureza observando seções transversais da superfície, ou perfis. Para o nosso exemplo, o objetivo de maximizar o Rendimento é tão importante quanto o de minimizar a Impureza . Para entender as compensações e encontrar uma combinação de configurações de fatores que equilibre as compensações entre os dois objetivos, combinamos os traços de perfil e os otimizamos em conjunto.

Neste exemplo, determinamos que definir o pH para 7,18, a temperatura para 33,71 e usar a opção "Rápido" do fornecedor prevê maximizar o rendimento em 96,06% e minimizar as impurezas em 0,82%. Vale ressaltar, no entanto, que pode haver outras combinações de fatores que produzam resultados semelhantes.

Planejamento Composto Central

O que é um planejamento composto central?

Um planejamento composto central (Central Composite Design - CCD) é um planejamento clássico de superfície de resposta. Ele incorpora pontos de um planejamento fatorial fracionário de resolução V ou superior, pontos centrais e pontos axiais (pontos estrela). Em planejamentos de resolução V, os efeitos principais e todas as interações de dois fatores podem ser estimados. Os pontos formam um cubo mais uma estrela e são equidistantes do centro.

Quando devo usar um planejamento composto central?

Os planejamentos compostos centrais são usados em planejamento de superfície de resposta onde o objetivo é a predição e a otimização. Eles são especialmente úteis para experimentação sequencial, pois contêm pontos de planejamento de um fatorial de dois níveis ou de um fatorial fracionário. O planejamento inicial pode ser ampliado com pontos centrais e pontos axiais para obter um planejamento composto central. Os planejamentos compostos centrais suportam apenas fatores contínuos.

Uma introdução aos planejamentos compostos centrais

Os planejamentos compostos centrais são um tipo de planejamento RSM clássico e são conhecidos por sua utilidade em experimentação sequencial. Eles incluem apenas fatores contínuos, cada um testado em cinco níveis: dois axiais, baixo, médio e alto, ou –α, –1, 0, +1, +α.

Os planejamentos compostos centrais incluem pontos de um planejamento fatorial fracionário de resolução mínima V, pontos centrais e pontos axiais. As três partes do planejamento permitem estimar os efeitos principais, as interações e os termos quadráticos:

Pontos fatoriais (codificados como -1, +1): Permitem estimar os efeitos principais e as interações de segunda ordem.
Pontos centrais (codificados como 0): Permitem detectar curvatura, aumentar a precisão e testar a falta de ajuste.
Pontos axiais (codificados como –α, +α): Permitem estimar termos quadráticos.

Na figura abaixo, os pontos fatoriais são mostrados como quadrados pretos, os pontos centrais como círculos azuis e os pontos axiais como losangos laranja.

Os pontos centrais representam os momentos em que os valores de todos os fatores são definidos como os valores médios. Eles são usados para entender se há curvatura (um efeito quadrático), para aumentar a precisão e para fornecer um teste de falta de ajuste. Se o teste de falta de ajuste indicar que o modelo de primeira ordem não é apropriado, você pode complementar o planejamento com pontos axiais para obter um Planejamento Composto Central.

Os pontos axiais (também conhecidos como pontos estrela) definem propriedades do planejamento, como rotacionalidade e ortogonalidade, e são usados para estimar os efeitos quadráticos. Eles estão localizados a uma distância de ±α do centro do planejamento. Cada ponto axial é ±α para um fator e 0 para todos os outros fatores. Os valores axiais podem ser posicionados em diferentes locais dentro do planejamento, portanto, existem diferentes tipos de planejamentos compostos centrais disponíveis.

Faceado: Os valores axiais estão nos centros das faces do cubo (espaço fatorial). Esses CCDs também são conhecidos como centrados na face ou centrados na face.
Circunscrito: Os valores axiais estão fora do cubo (espaço fatorial).
Inscrito: Os valores axiais estão dentro do cubo (espaço fatorial).

Os planejamentos Compostos Centrais podem ser executados sequencialmente por meio da ampliação de um planejamento, o que representa uma de suas vantagens. Ampliar um planejamento significa adicionar execuções a um planejamento experimental existente. Primeiro, coletam-se dados de um planejamento fatorial ou fatorial fracionário. Em seguida, adicionam-se pontos centrais por meio da ampliação do planejamento para testar a falta de ajuste. Finalmente, se for constatada a falta de ajuste do modelo de primeira ordem, pode-se ampliar o planejamento com pontos axiais para obter um CCD.

Os planejamentos I-ótimos de três e cinco fatores gerarão o mesmo número de ensaios únicos que um Planejamento Composto Central para o respectivo número de fatores. Quando você tiver múltiplos tipos de fatores além dos contínuos – como categóricos, restrições no espaço de planejamento, modelos não padronizados ou um orçamento de execução personalizado – considere os planejamentos algorítmicos devido à sua maior flexibilidade.

Um exemplo de planejamento composto central

Suponha que desejamos encontrar as configurações ideais dos fatores para maximizar a resistência da selagem de embalagens de pão. Com base em conhecimento prévio, sabemos que os três fatores contínuos – % Polietileno, Temperatura de Resfriamento e Temperatura de Selagem – são importantes. Decidimos executar um planejamento composto central para entender o formato da superfície de resposta com um modelo de segunda ordem. Primeiramente, definimos os objetivos da resposta e as configurações dos fatores.

A resposta e os fatores são:

Resistência da vedação: O objetivo da resposta é maximizar (quanto maior, melhor).
% Polietileno: O intervalo do fator é de 85 a 95 (ponto médio é 90).
Temperatura de resfriamento: A faixa do fator é de 120° a 140° (ponto médio de 130°).
Temperatura de selagem: A faixa de temperatura é de 220° a 240° (ponto médio de 230°).

Cada fator contínuo é testado em valores baixo, médio e alto em um Planejamento Composto Central para produzir um modelo de segunda ordem com termos quadráticos e de interação. Por exemplo, a porcentagem de polietileno é testada em 85, 90 e 95. Com três fatores contínuos, escolhemos um CCD com precisão uniforme de 20 execuções. Há oito execuções para os pontos fatoriais, seis execuções para os pontos axiais na face e seis execuções para os pontos centrais. Precisão uniforme significa que o número de pontos centrais é escolhido de forma que a variância da predição seja aproximadamente a mesma no centro e nos cantos do planejamento. Abaixo está a tabela do planejamento aleatorizado com uma coluna que mostra o padrão dos pontos do planejamento.

Para fins didáticos, a mesma tabela é apresentada abaixo, porém em ordem alfabética, para que se possam visualizar os três diferentes pontos de projeto. Além disso, os pontos de projeto são mostrados visualmente. Na tabela e na figura, os pontos fatoriais são representados por quadrados pretos, os pontos centrais por círculos azuis e os pontos axiais por losangos laranja.

Os valores de resistência da vedação são registrados na tabela de dados após a execução do planejamento, seguindo a ordem de execução do projeto original de randomização para eliminar a correlação com quaisquer variáveis potencialmente desconhecidas ou ocultas.

Para analisar os dados experimentais, utilizamos regressão linear múltipla para ajustar o modelo estatístico inicial "completo" especificado para a resistência da vedação . Os termos para este modelo de segunda ordem incluem o seguinte:

Interceptar.
Três efeitos principais ( % Polietileno, Temperatura de Resfriamento e Temperatura de Selagem ).
Três interações de dois fatores.
Três efeitos quadráticos.

Analisando o resumo dos efeitos do modelo com os efeitos ativos, vemos que a curvatura é um efeito ativo para a Temperatura de Vedação com o termo quadrático. Mantemos todos os termos no modelo para otimização e verificamos se existe um máximo para a Temperatura de Vedação, caso exista.

Podemos analisar o modelo de resistência da vedação com seções transversais da superfície, ou perfis. Atualmente, com os fatores definidos em seus respectivos pontos médios, prevemos uma resistência da vedação de 10,04. Queremos otimizar para encontrar uma combinação de configurações de fatores que produza a maior resistência da vedação .

Neste exemplo, vemos que definir a porcentagem de polietileno para 92,61, a temperatura de resfriamento para 131,75 e a temperatura de selagem para 226,22 prevê um valor máximo de 10,35 para a resistência da selagem . Essas configurações resultam em uma desejabilidade de 0,67, indicando que atingimos aproximadamente 67% da nossa meta de maximizar a resistência da selagem . Pode haver outras combinações de fatores que produzam resultados semelhantes.

Planejamento Box-Behnken

O que é um Planejamento Box-Behnken?

Os planejamentos Box-Behnken são um planejamento clássico de superfície de resposta construído a partir de um subconjunto de pontos de um planejamento fatorial, com cada fator definido em três níveis. Os pontos nos planejamentos Box-Behnken estão localizados nas arestas de um hipercubo e equidistantes do centro. Eles evitam pontos extremos e não podem ser construídos a partir de planejamentos fatoriais para experimentação sequencial.

Quando devo usar um planejamento Box-Behnken?

Os planejamentos de Box-Behnken são usados em planejamentos de superfície de resposta onde os objetivos principais são a predição e a otimização. Um planejamento de Box-Behnken pode ser vantajoso quando se precisa evitar extremos na combinação de fatores, como executar cada fator contínuo em um nível alto. Às vezes, execuções envolvendo extremos de fatores são perigosas, fisicamente impossíveis ou muito caras. Os planejamentos de Box-Behnken incluem apenas fatores contínuos.

Uma introdução aos planejamentos Box-Behnken

Os planejamentos Box-Behnken são um tipo de planejamento clássico de modelo de superfície de resposta e são conhecidos por evitar pontos extremos. Eles incluem apenas fatores contínuos que são testados em três níveis: baixo, médio e alto, ou -1, 0, +1 em unidades codificadas.

Os planejamentos Box-Behnken possuem duas características distintas: são rotacionais (ou quase rotacionais) e são esféricos. Planejamentos rotacionais são aqueles em que a variância prevista mantém o mesmo valor quando o planejamento é rotacionado em torno do seu centro. Os planejamentos Box-Behnken também são esféricos, onde todos os pontos do planejamento estão equidistantes do centro – ao contrário dos planejamentos cuboides, nos quais os extremos do cubo não são pontos de planejamento. Eles podem ser vantajosos quando se precisa evitar pontos extremos devido a custos ou efeitos colaterais indesejáveis. No entanto, a ausência de pontos de planejamento nos vértices do cubo leva a uma maior variância de previsão próxima aos vértices, onde não há dados. Abaixo, encontra-se um gráfico de dispersão 3D dos pontos de planejamento para três fatores. Observe que não há pontos de planejamento nos cantos do espaço.

Quando você tem vários tipos de fatores além dos contínuos (como categóricos, restrições no espaço de projeto, modelos não padronizados ou um orçamento de execução personalizado), considere os planejamentos algorítmicos devido à sua maior flexibilidade.

Um exemplo de um Planejamento Box-Behnken

Suponha que desejamos otimizar a elasticidade de uma bola de tênis medida como Stretch (elasticidade), para um valor alvo padronizado. A elasticidade da bola pode variar dependendo das quantidades de sílica, enxofre e silano utilizadas durante a fabricação. O objetivo do planejamento é aprimorar o processo de fabricação otimizando as configurações dos fatores para produzir um Stretch de 450. O Stretch não pode ser inferior a 350 nem superior a 550 para produzir um produto aceitável. Acreditamos que um modelo de segunda ordem seja necessário e, portanto, escolhemos um planejamento Box-Behnken para evitar que os fatores assumam valores extremos simultaneamente. Para criar um planejamento Box-Behnken, primeiro definimos a resposta desejada e as faixas de valores dos fatores.

A resposta e os fatores são:

Objetivo: A meta de resposta é atingir um valor de 450, com um limite inferior de 350 e um limite superior de 550.
Sílica: O intervalo do fator é de 0,7 a 1,7 (ponto médio é 1,2).
Enxofre: O intervalo do fator é de 1,8 a 2,8 (ponto médio é 2,3).
Silano: O intervalo do fator é de 40 a 60 (o ponto médio é 50).

Cada fator contínuo é testado em valores baixo, médio e alto em um planejamento Box-Behnken para produzir um modelo de segunda ordem com termos quadráticos e de interação. Como exemplo, a sílica é testada em 0,7, 1,2 e 1,7. Com três fatores contínuos, escolhemos um planejamento Box-Behnken com 15 execuções com três pontos centrais. Há 12 execuções para examinar todas as combinações possíveis de valores baixo e alto para cada par de fatores, enquanto o terceiro fator está no nível médio mais os três pontos centrais. Abaixo está a tabela do planejamento aleatorizado com uma coluna que mostra o padrão dos pontos do planejamentos.

Para fins didáticos, segue abaixo a mesma tabela ordenada pela coluna de padrão. Observe como cada execução contém um dos fatores em um valor intermediário, enquanto os outros dois fatores estão em valores altos ou baixos. Nenhuma das execuções está nos extremos do espaço de projeto, onde há combinações de fatores extremos, como +++, --- ou +--. Essa é uma característica de um planejamento Box-Behnken.

Os valores de Alongamento são registrados na tabela de dados após a execução do planejamento, seguindo a ordem de execução do planejamento experimental aleatorizado original.

Para analisar os dados experimentais, utilizaremos regressão linear múltipla para ajustar o modelo estatístico inicial "completo" especificado para Stretch . Os termos do modelo incluem os seguintes termos para um modelo de segunda ordem:

Interceptar.
Três efeitos principais ( Sílica, Enxofre e Silano ).
Três interações de dois fatores.
Três efeitos quadráticos.

Os efeitos inativos são removidos do modelo por meio da seleção de variáveis. Os efeitos ativos são termos estatisticamente significativos que influenciam as respostas. Observando o resumo dos efeitos para o modelo com os efeitos ativos, vemos que a curvatura é um efeito ativo para o Enxofre e a Sílica, com o termo quadrático. Também existem interações ativas entre Sílica e Enxofre, bem como entre Enxofre e Silano .

Vamos analisar o modelo reduzido para Stretch abaixo, observando as seções transversais da superfície, ou perfis. Podemos ver o efeito quadrático ativo no Enxofre e na Sílica com os perfis curvos. Vemos que o Silano, sem um efeito quadrático ativo, é linear. Atualmente, com os fatores definidos em seus respectivos pontos médios, prevemos um Stretch de 396,15. Queremos otimizar para encontrar uma combinação de configurações de fatores que produza um Stretch de 450.

Neste exemplo, definir a Sílica para 1,06, o Enxofre para 1,91 e o Silano para 43,82 prevê que o valor alvo para o Stretch seja de 450. Pode haver outras combinações de fatores que produzam resultados semelhantes.